【高等代數(shù)第四版答案】高等代數(shù)
初等代數(shù)從最簡單的一元一次方程開始，一方面進而討論二元及三元的一次方程組，另一方面研究二次以上及可以轉(zhuǎn)化為二次的方程組。沿著這兩個方向繼續(xù)發(fā)展，代數(shù)在討論任意多個未知數(shù)的一次方程組，也叫線型方程組的同時還研究次數(shù)更高的一元方程組。發(fā)展到這個階段，就叫做高等代數(shù)。
高等代數(shù)是代數(shù)學發(fā)展到高級階段的總稱，它包括許多分支。現(xiàn)在大學里開設(shè)的高等代數(shù)，一般包括兩部分：線性代數(shù)初步、多項式代數(shù)。
高等代數(shù)在初等代數(shù)的基礎(chǔ)上研究對象進一步的擴充，引進了許多新的概念以及與通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空間等。這些量具有和數(shù)相類似的運算的特點，不過研究的方法和運算的方法都更加繁復。
集合是具有某種屬性的事物的全體；向量是除了具有數(shù)值還同時具有方向的量；向量空間也叫線性空間，是由許多向量組成的并且符合某些特定運算的規(guī)則的集合。向量空間中的運算對象已經(jīng)不只是數(shù)，而是向量了，其運算性質(zhì)也由很大的不同了。
高等代數(shù)發(fā)展簡史
代數(shù)學的歷史告訴我們，在研究高次方程的求解問題上，許多數(shù)學家走過了一段頗不平坦的路途，付出了艱辛的勞動。
人們很早就已經(jīng)知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。關(guān)于三次方程，我國在公元七世紀，也已經(jīng)得到了一般的近似解法，這在唐朝數(shù)學家王孝通所編的《緝古算經(jīng)》就有敘述。到了十三世紀，宋代數(shù)學家秦九韶再他所著的《數(shù)書九章》這部書的“正負開方術(shù)”里，充分研究了數(shù)字高次方程的求正根法，也就是說，秦九韶那時候以得到了高次方程的一般解法。
在西方，直到十六世紀初的文藝復興時期，才由有意大利的數(shù)學家發(fā)現(xiàn)一元三次方程解的公式──卡當公式。
在數(shù)學史上，相傳這個公式是意大利數(shù)學家塔塔里亞首先得到的,后來被米蘭地區(qū)的數(shù)學家卡爾達諾(1501～1576)騙到了這個三次方程的解的公式，并發(fā)表在自己的著作里。所以現(xiàn)在人們還是叫這個公式為卡爾達諾公式(或稱卡當公式)，其實，它應該叫塔塔里亞公式。
三次方程被解出來后，一般的四次方程很快就被意大利的費拉里(1522～1560)解出。這就很自然的促使數(shù)學家們繼續(xù)努力尋求五次及五次以上的高次方程的解法。遺憾的是這個問題雖然耗費了許多數(shù)學家的時間和精力，但一直持續(xù)了長達三個多世紀，都沒有解決。
到了十九世紀初，挪威的一位青年數(shù)學家阿貝爾(1802～1829)證明了五次或五次以上的方程不可能有代數(shù)解。既這些方程的根不能用方程的系數(shù)通過加、減、乘、除、乘方、開方這些代數(shù)運算表示出來。阿貝爾的這個證明不但比較難，而且也沒有回答每一個具體的方程是否可以用代數(shù)方法求解的問題。
后來，五次或五次以上的方程不可能有代數(shù)解的問題，由法國的一位青年數(shù)學家伽羅華徹底解決了。伽羅華20歲的時候，因為積極參加法國資產(chǎn)階級革命運動，曾兩次被捕入獄，1832年4月，他出獄不久，便在一次私人決斗中死去，年僅21歲。
伽羅華在臨死前預料自己難以擺脫死亡的命運，所以曾連夜給朋友寫信，倉促地把自己生平的數(shù)學研究心得扼要寫出，并附以論文手稿。他在給朋友舍瓦利葉的信中說：“我在分析方面做出了一些新發(fā)現(xiàn)。有些是關(guān)于方程論的；有些是關(guān)于整函數(shù)的……。公開請求雅可比或高斯，不是對這些定理的正確性而是對這些定理的重要性發(fā)表意見。我希望將來有人發(fā)現(xiàn)消除所有這些混亂對它們是有益的?！?/p>
伽羅華死后，按照他的遺愿，舍瓦利葉把他的信發(fā)表在《百科評論》中。他的論文手稿過了14年，才由劉維爾(1809～1882)編輯出版了他的部分文章，并向數(shù)學界推薦。
隨著時間的推移，伽羅華的研究成果的重要意義愈來愈為人們所認識。伽羅華雖然十分年輕，但是他在數(shù)學史上做出的貢獻，不僅是解決了幾個世紀以來一直沒有解決的高次方程的代數(shù)解的問題，更重要的是他在解決這個問題中提出了“群”的概念，并由此發(fā)展了一整套關(guān)于群和域的理論，開辟了代數(shù)學的一個嶄新的天地，直接影響了代數(shù)學研究方法的變革。從此，代數(shù)學不再以方程理論為中心內(nèi)容，而轉(zhuǎn)向?qū)Υ鷶?shù)結(jié)構(gòu)性質(zhì)的研究，促進了代數(shù)學的進一步的發(fā)展。在數(shù)學大師們的經(jīng)典著作中，伽羅華的論文是最薄的，但他的數(shù)學思想?yún)s是光輝奪目的。
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